広島あおば物理塾

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鉛直面での円運動（糸、棒、壁）その１

admin2015年5月17日2015年5月20日コラム

こんばん（にち）は、大魚です。

今日から数回にわたって、この時期につまずきやすい、不等速円運動の問題を取り上げてみましょう。

［有名題］

長さ $r$ の糸に質量 $m$ のおもり $P$ をつけ、水平にして放し、円運動させる。
（１）最下点Aでの糸の張力 $T_A$ はいくらか。
（２）点Bでの張力 $T_B$ はいくらか。

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この問題では２通りの座標系を使って解くことが出来ます。１つは外から見た系、もう１つはおもりを固定した系（ここでは回転系と呼んでみます）です。どちらでもよいですが、回転系を使って解くと「慣性力 $m\frac{v^2}{r}$ が出現するかわりに、おもりが動いていることを頭の中から忘れることが出来る」ので、私はそちらの方が好きです。なお、慣性力 $m\frac{v^2}{r}$ は暗記事項です。ではさっそく。

（１）回転系にて

回転系から見るとおもりは動いていませんから、つり合いの式を立てることが出来ます。半径方向のつり合いの式は、図より

$T_A-mg-m\frac{v^2}{r}=0$ 　…(a)

エネルギー保存則は

$\frac{1}{2}mv^2 = mgr$ …(b)

(b)より

$\frac{v^2}{r} = 2g$

(a)に代入して

$T_A -mg -2mg = 0$ 　つまり　 $T_A=3mg$ 　これが答えとなります。

（２）回転系にて

やはり回転系から見るとおもりは動いていませんから、つり合いの式を立てることが出来ます。半径方向のつり合いの式は、図より

$T_B - \frac{1}{2}mg - m\frac{v^2}{r}=0$ 　…(c)

エネルギー保存則は

$\frac{1}{2}mv^2=mg\frac{r}{2}$ …(d)

(d)右辺の $\frac{r}{2}$ は、点Pと点Bの高度差になります。(d)より

$\frac{v^2}{r} = g$

これを(c)に代入して

$T_B - \frac{1}{2}mg -mg = 0$ 　つまり　 $T_B = \frac{3}{2}mg$ 　これが答えとなります。

本日はここまでです。

次回は、この糸が棒に変わったり、あるいは糸でも棒でもなく小球が壁を這っていたりするときに、このパターンの問題がどうなるのかを取り上げたいと思います。